10th Maths Quarterly Exam 2026 Question Paper & Answer Key | Thoothukudi District (TM)

காலாண்டுப் பொதுத் தேர்வு - 2026

1. (a + 2, 4) மற்றும் (5, 2a + b) ஆகிய வரிசைச் சோடிகள் சமம் எனில், (a, b) என்பது
a) (2, −2)      b) (5, 1)      c) (2, 3)      d) (3, −2)

2. A = {1, 2, 3, 4} மற்றும் B = {4, 8, 9, 10}. f: A → B ஆனது f = {(1, 4), (2, 8), (3, 9), (4, 10)} எனக் கொடுக்கப்பட்டால் f என்பது
a) சமனிச்சார்பு      b) பலவற்றிலிருந்து ஒன்றுக்கான சார்பு
c) ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு      d) உட்சார்பு

3. n(A) = 2, n(B) = 3 மற்றும் n(A × B) = 6 எனில், n(B × A) ஆனது
a) 2      b) 3      c) 5      d) 6

4. ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் முதல் உறுப்பு 1 மற்றும் பொது வித்தியாசம் 4 எனில் பின்வரும் எண்களில் எது இந்தக் கூட்டுத்தொடர்வரிசையில் அமையும்?
a) 4551      b) 10091      c) 7881      d) 13531

5. ³/₁₆, ¹/₈, ¹/₁₂, ¹/₁₈, ... என்ற தொடர்வரிசையின் அடுத்த உறுப்பு
a) ¹/₂₄      b) ¹/₂₇      c) ²/₃      d) ¹/₈₁

6. [(3y − 3) / y] ÷ [(7y − 7) / (3y²)] என்பது
a) 9y / 7      b) 9y³ / (21y − 21)      c) (21y² − 42y + 21) / (3y³)      d) 7(y² − 2y + 1) / y²

7. x⁴ + 64 முழு வர்க்கமாக மாற்ற அதனுடன் பின்வருவனவற்றுள் எதைக் கூட்ட வேண்டும்?
a) 4x²      b) 16x²      c) 8x²      d) −8x²

8. α + β = 5 மற்றும் αβ = 6 எனில், α³ + β³ ஆனது
a) 25      b) 35      c) 45      d) 55

9. இரு வடிவொத்த முக்கோணங்கள் ΔABC மற்றும் ΔPQR யின் சுற்றளவுகள் முறையே 36 செ.மீ மற்றும் 24 செ.மீ ஆகும். PQ = 10 செ.மீ எனில் AB யின் நீளம்
a) 6 செ.மீ      b) (10√6) / 3 செ.மீ      c) 66 ²/₃ செ.மீ      d) 15 செ.மீ

10. ΔABCயில் AD ஆனது ∠BACயின் இருசமவெட்டி. AB = 8 செ.மீ, BD = 6 செ.மீ மற்றும் DC = 3 செ.மீ எனில், பக்கம் AC யின் நீளம்
a) 6 செ.மீ      b) 4 செ.மீ      c) 3 செ.மீ      d) 8 செ.மீ

11. கோட்டுத்துண்டு PQயின் சாய்வு 1 / √3 எனில், PQக்கு செங்குத்தான இரு சமவெட்டியின் சாய்வு
a) √3      b) −√3      c) 1 / √3      d) 0

12. x = 11 எனக் கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடானது
a) X அச்சுக்கு இணை      b) Y அச்சுக்கு இணை
c) ஆதிப்புள்ளி வழிச் செல்லும்      d) (0, 11) என்ற புள்ளி வழிச் செல்லும்

13. 5x = sec θ மற்றும் 5/y = tan θ எனில் x² − 1/y² ன் மதிப்பு
a) 25      b) ¹/₂₅      c) 5      d) 1

14. a cot θ + b cosec θ = p மற்றும் b cot θ + a cosec θ = q எனில் p² − q² ன் மதிப்பு
a) a² − b²      b) b² − a²      c) a² + b²      d) b − a

15. A = {1, 3, 5} மற்றும் B = {2, 3} எனில் A × B மற்றும் B × A ஐ காண்க.

16. f: N → N என்ற சார்பு f(x) = 2x − 1 என வரையறுக்கப்பட்டால் அது ஒன்றுக்கு ஒன்றான ஆனால் மேல் சார்பு இல்லை எனக் காட்டுக.

17. தீர்க்க: 5x ≡ 4 (mod 6).

18. −11, −15, −19, ... என்ற கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் 19வது உறுப்பைக் காண்க.

19. கூடுதல் காண்க: 1 + 3 + 5 + ... + 55.

20. (x³ − 27) / (x³ + x² − 6x) என்ற கோவைக்கு விலக்கப்பட்ட மதிப்புகள் இருப்பின் அவற்றைக் காண்க.

21. கூட்டுக: [x³ / (x − y)] + [y³ / (y − x)].

22. மூலங்களின் கூடுதல் −⁷/₂ மற்றும் பெருக்கற்பலன் ⁵/₂ உடைய இருபடிச் சமன்பாட்டைக் காண்க.

23. சூத்திர முறையைப் பயன்படுத்தி 2x² − 3x − 3 = 0 ஐத் தீர்க்க.

24. படத்தில் ΔABC யில் ∠A யின் இருசமவெட்டி AD ஆகும். BD = 4 செ.மீ, DC = 3 செ.மீ மற்றும் AB = 6 செ.மீ எனில் AC யைக் காண்க.
[படம்: ΔABC-ல் உச்சி A-விலிருந்து வரையப்பட்ட இருசமவெட்டி AD அடிப்பக்கம் BC-ஐ D-ல் சந்திக்கிறது. AB = 6 cm, BD = 4 cm, DC = 3 cm]

25. ஆய அச்சுகளுடன் சமமாகவும், எதிர் குறியும் உடைய வெட்டுத்துண்டுகளை ஏற்படுத்தி (5, 7) என்ற புள்ளி வழி செல்லும் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

26. 12y = −(p + 3)x + 12 மற்றும் 12x − 7y = 16 ஆகிய நேர்க்கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து எனில் 'p' யின் மதிப்பைக் காண்க.

27. sec θ − cos θ = tan θ sin θ என்பதை நிரூபிக்கவும்.

28. [கட்டாய வினா] kx² − 12x + 9 = 0 என்ற இருபடிச்சமன்பாட்டின் மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம் எனில், k-யின் மதிப்பைக் காண்க.

29. A = {1, 2, 3, 4} மற்றும் B = {2, 5, 8, 11, 14} என்பன இரு கணங்கள் என்க. f: A → B எனும் சார்பு f(x) = 3x − 1 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இச்சார்பினைக் கொண்டு:
i) அம்புக்குறி படம்      ii) அட்டவணை      iii) வரிசைச் சோடிகளின் கணம்      iv) வரைபடம்
ஆகியவற்றைக் குறிக்க.

31. f(x) = 3x + 1, g(x) = x + 3 ஆகியவை இரு சார்புகள். மேலும் g ∁ f ∁ f(x) = f ∁ g ∁ g(x) எனில் x ஐக் காண்க.

32. p₁^x₁ × p₂^x₂ × p₃^x₃ × p₄^x₄ = 113400 இங்கு p₁, p₂, p₃, p₄ என்பன ஏறு வரிசையில் அமைந்த பகா எண்கள் மற்றும் x₁, x₂, x₃, x₄ என்பன முழுக்கள் எனில் p₁, p₂, p₃, p₄ மற்றும் x₁, x₂, x₃, x₄ ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.

33. ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் அடுத்தடுத்த மூன்று உறுப்புகளின் பெருக்கற்பலன் 343 மற்றும் அவற்றின் கூடுதல் ⁹¹/₃ எனில், அந்த மூன்று உறுப்புகளைக் காண்க.

34. சுருக்குக: [1 / (x² − 5x + 6)] + [1 / (x² − 3x + 2)] − [1 / (x² − 8x + 15)].

35. 4x⁴ − 12x³ + 37x² + bx + a ஆனது ஒரு முழுவர்க்கம் எனில், a மற்றும் b ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.

36. ஒரு பேருந்து 90 கி.மீ தொலைவைச் சீரான வேகத்தில் கடக்கிறது. அதன் வேகம் 15 கி.மீ / மணி அதிகரிக்கப்பட்டால், பயண நேரம் 30 நிமிடங்கள் குறைகிறது எனில், பேருந்தின் வேகத்தைக் கணக்கிடுக.

37. α, β என்பன 7x² + ax + 2 = 0 யின் மூலங்கள் மற்றும் β − α = −¹³/₇ எனில், a யின் மதிப்பைக் காண்க.

38. கோண இருசமவெட்டி தேற்றத்தை எழுதி நிரூபிக்க.

39. (−9, 0), (−8, 6), (−1, −2) மற்றும் (−6, −3) ஆகிய புள்ளிகளை முனைகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பைக் காண்க.

40. (−3, 8) என்ற புள்ளி வழிச் செல்வதும், ஆய அச்சுகளின் மிகை வெட்டுத்துண்டுகளின் கூடுதல் 7 உடையதுமான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

41. 5x − 6y = 2, 3x + 2y = 10 ஆகிய நேர்க்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி வழியாகவும் 4x − 7y + 13 = 0 என்ற நேர்க்கோட்டிற்குச் செங்குத்தாகவும் அமையும் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

42. [கட்டாய வினா] 7 + 77 + 777 + ... என்ற தொடர் வரிசையின் n உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.

43. a) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR ன் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் ⁷/₃ என்றவாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக (அளவு காரணி ⁷/₃ > 1).
(அல்லது / OR) b) அடிப்பக்கம் BC = 8 செ.மீ, ∠A = 60° மற்றும் ∠A யின் இருசமவெட்டியானது BC ஐ D என்ற புள்ளியில் BD = 6 செ.மீ என்றவாறு சந்திக்கிறது எனில், முக்கோணம் ABC வரைக.

1. d) (3, −2) [விளக்கம்: a + 2 = 5 ⇒ a = 3; 2(3) + b = 4 ⇒ b = −2]

2. c) ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு

3. d) 6 [விளக்கம்: n(B × A) = n(B) × n(A) = 3 × 2 = 6]

4. c) 7881 [விளக்கம்: t_n = 1 + (n − 1)4 = 4n − 3; 7881 + 3 = 7884 என்பது 4 ஆல் வகுபடும்]

5. b) ¹/₂₇ [விளக்கம்: பெருக்கு விகிதம் r = ²/₃; ¹/₁₈ × ²/₃ = ¹/₂₇]

6. a) 9y / 7

7. b) 16x²

8. b) 35 [விளக்கம்: α³ + β³ = (α + β)³ − 3αβ(α + β) = 5³ − 3(6)(5) = 125 − 90 = 35]

9. d) 15 செ.மீ [விளக்கம்: AB / PQ = 36 / 24 ⇒ AB / 10 = ³/₂ ⇒ AB = 15]

10. b) 4 செ.மீ [விளக்கம்: AB / AC = BD / DC ⇒ 8 / AC = 6 / 3 = 2 ⇒ AC = 4]

11. b) −√3 [விளக்கம்: m₁ · m₂ = −1 ⇒ m₂ = −1 / (1/√3) = −√3]

12. b) Y அச்சுக்கு இணை

13. b) ¹/₂₅ [விளக்கம்: x² − 1/y² = (sec²θ − tan²θ) / 25 = ¹/₂₅]

14. b) b² − a² [விளக்கம்: p² − q² = (b² − a²)(cosec²θ − cot²θ) = b² − a²]

15. A = {1, 3, 5}, B = {2, 3}
A × B = {(1, 2), (1, 3), (3, 2), (3, 3), (5, 2), (5, 3)}
B × A = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5)}

16. f(x) = 2x − 1
f(x₁) = f(x₂) ⇒ 2x₁ − 1 = 2x₂ − 1 ⇒ x₁ = x₂. எனவே இது ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு.
வீச்சகம் = {1, 3, 5, 7, ...} என்பது ஒற்றைப்படை இயல் எண்களின் கணம் ≠ N (துணை மதிப்பகம்). எனவே இது மேல் சார்பு இல்லை.

17. 5x ≡ 4 (mod 6) ⇒ 5x − 4 = 6n (n என்பது முழு)
x = 2 எனில், 5(2) − 4 = 6 (6 ஆல் வகுபடும்). எனவே x = 2, 8, 14, ...

18. a = −11, d = −15 − (−11) = −4
t₁₉ = a + (19 − 1)d = −11 + 18(−4) = −11 − 72 = −83

19. முதல் n ஒற்றை இயல் எண்களின் கூடுதல்: l = 55
n = (l + 1) / 2 = (55 + 1) / 2 = 28
கூடுதல் = n² = 28² = 784

20. பகுதி = x³ + x² − 6x = x(x² + x − 6) = x(x + 3)(x − 2) = 0
விலக்கப்பட்ட மதிப்புகள்: 0, −3, 2

21. [x³ / (x − y)] + [y³ / (y − x)] = [x³ / (x − y)] − [y³ / (x − y)] = (x³ − y³) / (x − y)
= [(x − y)(x² + xy + y²)] / (x − y) = x² + xy + y²

22. இருபடிச் சமன்பாட்டின் வடிவம்: x² − (மூலங்களின் கூடுதல்)x + (மூலங்களின் பெருக்கல்) = 0
x² − (−⁷/₂)x + ⁵/₂ = 0 ⇒ x² + (⁷/₂)x + ⁵/₂ = 0
2-ஆல் பெருக்க: 2x² + 7x + 5 = 0

23. 2x² − 3x − 3 = 0 ⇒ a = 2, b = −3, c = −3
x = [−b ± √(b² − 4ac)] / (2a) = [3 ± √((−3)² − 4(2)(−3))] / 4 = [3 ± √33] / 4

24. கோண இருசமவெட்டி தேற்றப்படி, AB / AC = BD / DC
6 / AC = 4 / 3 ⇒ 4 AC = 18 ⇒ AC = 18 / 4 = 4.5 செ.மீ

25. சமமாகவும் எதிர் குறியுமுடைய வெட்டுத்துண்டுகள்: a = −b (அல்லது b = −a)
(x / a) + [y / (−a)] = 1 ⇒ x − y = a
(5, 7) வழிச் செல்கிறது ⇒ 5 − 7 = a ⇒ a = −2
சமன்பாடு: x − y = −2 ⇒ x − y + 2 = 0

26. 12y = −(p + 3)x + 12 ⇒ m₁ = −(p + 3) / 12
12x − 7y = 16 ⇒ m₂ = −12 / (−7) = ¹²/₇
செங்குத்து என்பதால்: m₁ × m₂ = −1 ⇒ [−(p + 3) / 12] × (12 / 7) = −1
p + 3 = 7 ⇒ p = 4

27. LHS = sec θ − cos θ = (1 / cos θ) − cos θ = (1 − cos²θ) / cos θ = sin²θ / cos θ
= (sin θ / cos θ) × sin θ = tan θ sin θ = RHS. நிரூபிக்கப்பட்டது.

28. மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம் ⇒ Δ = b² − 4ac = 0
(−12)² − 4(k)(9) = 0 ⇒ 144 − 36k = 0 ⇒ 36k = 144 ⇒ k = 4

30. t(C) = ⁹/₅ C + 32
i) t(0) = 32°F
ii) t(28) = ⁹/₅(28) + 32 = 50.4 + 32 = 82.4°F
iii) t(−10) = ⁹/₅(−10) + 32 = −18 + 32 = 14°F
iv) t(C) = 212 ⇒ ⁹/₅ C = 180 ⇒ C = 100°C
v) C = F ⇒ C = ⁹/₅ C + 32 ⇒ C = −40°

31. f(x) = 3x + 1, g(x) = x + 3
f ∁ f(x) = 3(3x + 1) + 1 = 9x + 4
g ∁ f ∁ f(x) = (9x + 4) + 3 = 9x + 7
g ∁ g(x) = (x + 3) + 3 = x + 6
f ∁ g ∁ g(x) = 3(x + 6) + 1 = 3x + 19
9x + 7 = 3x + 19 ⇒ 6x = 12 ⇒ x = 2

32. 113400 = 2³ × 3⁴ × 5² × 7¹
பகா எண்கள்: p₁ = 2, p₂ = 3, p₃ = 5, p₄ = 7
அடுக்குகள்: x₁ = 3, x₂ = 4, x₃ = 2, x₄ = 1

33. பெருக்குத்தொடரின் மூன்று உறுப்புகள்: a/r, a, ar
பெருக்கற்பலன் = a³ = 343 ⇒ a = 7
கூடுதல் = 7/r + 7 + 7r = ⁹¹/₃ ⇒ 7(1/r + 1 + r) = ⁹¹/₃ ⇒ (r² + r + 1) / r = ¹³/₃
3r² − 10r + 3 = 0 ⇒ (3r − 1)(r − 3) = 0 ⇒ r = 3 அல்லது r = ¹/₃
உறுப்புகள்: ⁷/₃, 7, 21 அல்லது 21, 7, ⁷/₃

34. காரணிப்படுத்துதல்: (x − 2)(x − 3), (x − 2)(x − 1), (x − 5)(x − 3)
= [(x − 1)(x − 5) + (x − 3)(x − 5) − (x − 1)(x − 2)] / [(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 5)]
= (x² − 11x + 18) / [(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 5)] = [(x − 9)(x − 2)] / [(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 5)]
= (x − 9) / [(x − 1)(x − 3)(x − 5)]

35. 4x⁴ − 12x³ + 37x² + bx + a
நீள்வகுத்தல் முறையில் வர்க்கமூலத்தின் ஈவு 2x² − 3x + 7 கிடைக்கப்பெறுகிறது.
முழுவர்க்கம் என்பதால்: a = 49, b = −42

36. பேருந்தின் வேகம் s கி.மீ/மணி என்க.
(90 / s) − [90 / (s + 15)] = ¹/₂ ⇒ 90 [ (s + 15 − s) / (s(s + 15)) ] = ¹/₂
(90 × 15) / (s² + 15s) = ¹/₂ ⇒ s² + 15s − 2700 = 0
(s + 60)(s − 45) = 0 ⇒ s = 45 கி.மீ/மணி (வேகம் மிகை எண்)

37. 7x² + ax + 2 = 0 ⇒ α + β = −a / 7,   αβ = ²/₇
(β − α)² = (α + β)² − 4αβ ⇒ (−¹³/₇)² = (−a / 7)² − 4(²/₇)
¹⁶⁹/₄₉ = (a² / 49) − ⁸/₇ = (a² − 56) / 49 ⇒ a² − 56 = 169 ⇒ a² = 225 ⇒ a = ±15

38. கோண இருசமவெட்டி தேற்றம்: கூற்று மற்றும் நிரூபணம் (பாடப்புத்தகத்தைப் பார்க்கவும்).

39. புள்ளிகளை கடிகார எதிர்திசையில் வரிசைப்படுத்த: A(−9, 0), B(−6, −3), C(−1, −2), D(−8, 6)
பரப்பு = ¹/₂ [(27 + 12 − 6 + 0) − (0 + 3 + 16 − 54)] = ¹/₂ [33 − (−35)] = ¹/₂ (68) = 34 ச. அலகுகள்

40. வெட்டுத்துண்டுகளின் கூடுதல் = 7 ⇒ a + b = 7 ⇒ b = 7 − a
(x / a) + [y / (7 − a)] = 1, (−3, 8) வழிச் செல்கிறது.
−3(7 − a) + 8a = a(7 − a) ⇒ a² + 4a − 21 = 0 ⇒ (a + 7)(a − 3) = 0
மிகை வெட்டுத்துண்டுகள் என்பதால் a = 3 ⇒ b = 4.
சமன்பாடு: (x / 3) + (y / 4) = 1 ⇒ 4x + 3y − 12 = 0

41. 5x − 6y = 2 மற்றும் 3x + 2y = 10 ஆகியவற்றைத் தீர்க்க வெட்டுப்புள்ளி (2, 2) கிடைக்கிறது.
4x − 7y + 13 = 0-க்கு செங்குத்தான கோட்டின் சமன்பாடு: 7x + 4y + k = 0
(2, 2) ஐப் பிரதியிட: 7(2) + 4(2) + k = 0 ⇒ 14 + 8 + k = 0 ⇒ k = −22
தேவையான சமன்பாடு: 7x + 4y − 22 = 0

42. S_n = 7 + 77 + 777 + ... n உறுப்புகள் = 7(1 + 11 + 111 + ... n உறுப்புகள்)
= ⁷/₉ (9 + 99 + 999 + ... n உறுப்புகள்) = ⁷/₉ [(10 − 1) + (10² − 1) + ... + (10ⁿ − 1)]
= ⁷⁰/₈₁ (10ⁿ − 1) − ⁷ⁿ/₉

43. a) ⁷/₃ > 1 என்ற அளவுக்காரணி கொண்ட வடிவொத்த முக்கோணம் வரைதல்.
b) BC = 8 செ.மீ, ∠A = 60°, இருசமவெட்டி சந்திக்கும் புள்ளி BD = 6 செ.மீ கொண்ட முக்கோணம் வரைதல்.