10th Maths Quarterly Exam 2026 Question Paper & Answer Key | Salem District (TM)

காலாண்டுத் தேர்வு - செப் 2026 / QUARTERLY EXAM - SEP 2026

1. A = {1, 2, 3, 4, 5} -லிருந்து B என்ற கணத்திற்கு 1024 உறவுகள் உள்ளது எனில் B ல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை
அ) 3      ஆ) 2      இ) 4      ஈ) 8

2. f: A → B ஆனது இருபுறச் சார்பு மற்றும் n(B) = 7 எனில் n(A) ஆனது
அ) 7      ஆ) 49      இ) 1      ஈ) 14

3. g = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)} என்ற சார்பானது g(x) = αx + β எனக் கொடுக்கப்பட்டால் α மற்றும் β-யின் மதிப்பானது
அ) (−1, 2)      ஆ) (2, −1)      இ) (−1, −2)      ஈ) (1, 2)

4. ஒரு AP-ல் a₁₈ − a₁₄ = 32 எனில் அதன் பொது வித்தியாசம்
அ) 8      ஆ) −8      இ) −4      ஈ) 4

5. 1729 ஐ பகாக் காரணிப்படுத்தும் போது, அந்தப் பகா எண்களின் அடுக்குகளின் கூடுதல்
அ) 1      ஆ) 2      இ) 3      ஈ) 4

6. ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் முதல் உறுப்பு 1 மற்றும் பொது வித்தியாசம் 4 எனில், பின்வரும் எண்களில் எது இந்தக் கூட்டுத் தொடர் வரிசையில் அமையும்?
அ) 4551      ஆ) 10091      இ) 7881      ஈ) 13531

7. ³/₁₆, ¹/₈, ¹/₁₂, ¹/₁₈, ... என்ற தொடர் வரிசையின் அடுத்த உறுப்பு
அ) ¹/₂₄      ஆ) ¹/₂₇      இ) ²/₃      ஈ) ¹/₈₁

8. x⁴ + 64 முழு வர்க்கமாக மாற்ற அதனுடன் பின்வருவனவற்றுள் எதைக் கூட்ட வேண்டும்?
அ) 4x²      ஆ) 16x²      இ) 8x²      ஈ) −8x⁴

9. நேரிய சமன்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு _______ ஆகும்.
அ) நேர்கோடு      ஆ) வட்டம்      இ) பரவளையம்      ஈ) அதிபரவளையம்

10. இருசமபக்க முக்கோணம் ΔABC யில் ∠C = 90° மற்றும் AC = 5 செ.மீ எனில் AB ஆனது
அ) 2.5 செ.மீ      ஆ) 5 செ.மீ      இ) 10 செ.மீ      ஈ) 5√2 செ.மீ

11. (5, 7), (3, p) மற்றும் (6, 6) என்பன ஒரு கோடமைந்தவை எனில் p-ன் மதிப்பு
அ) 3      ஆ) 6      இ) 9      ஈ) 12

12. x = 11 எனக் கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டின் சமன்பாடானது
அ) X அச்சுக்கு இணை      ஆ) Y அச்சுக்கு இணை
இ) ஆதிப்புள்ளி வழிச் செல்லும்      ஈ) (0, 11) என்ற புள்ளி வழிச் செல்லும்

13. 2x + 5y − 2 = 0 என்ற கோட்டிற்கு இணையான கோட்டின் சமன்பாடு
அ) 5x − 2y − 7 = 0      ஆ) 4x + 10y − 4 = 0
இ) 2x − 5y + 2 = 0      ஈ) 5x + 2y − 2 = 0

14. sin θ + cos θ = a மற்றும் sec θ + cosec θ = b எனில் b(a² − 1) ன் மதிப்பு
அ) 2a      ஆ) 3a      இ) 0      ஈ) 2ab

15. A × B = {(3, 2), (3, 4), (5, 2), (5, 4)} எனில் A மற்றும் B ஐக் காண்க.

16. f: N → N என்ற சார்பு f(m) = m² + m + 3 என வரையறுக்கப்பட்டால் அது ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பு எனக் காட்டு.

17. f(x) = x² − 1, g(x) = x − 2 மற்றும் g ∁ f(a) = 1 எனில், a-ஐக் காண்க.

18. முதல் 10 இயல் எண்களால் மீதியின்றி வகுபடக் கூடிய சிறிய எண் எது?

19. முற்பகல் 7 மணிக்கு 100 மணி நேரத்திற்கு பிறகு நேரம் என்ன?

20. 1³ + 2³ + 3³ + ... + k³ = 44100 எனில் 1 + 2 + 3 + ... + k ன் மதிப்பு காண்க.

21. விலக்கப்பட்ட மதிப்பு காண்க: t / (t² − 5t + 6).

22. ஓர் எண் மற்றும் அதன் தலைகீழி ஆகியவற்றின் வித்தியாசம் ²⁴/₅ எனில் அந்த எண்ணைக் காண்க.

23. 2x² − 2x + 9 = 0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்களின் தன்மையைக் காண்க.

24. ΔABC யின் பக்கங்கள் AB மற்றும் AC-ல் அமைந்த புள்ளிகள் முறையே D மற்றும் E. மேலும், AB = 5.6 செ.மீ, AD = 1.4 செ.மீ, AC = 7.2 செ.மீ மற்றும் AE = 1.8 செ.மீ எனில் DE || BC எனக் காட்டுக.

25. பின்வரும் சாய்வுகளைக் கொண்ட நேர்க்கோடுகளின் சாய்வுக் கோணம் என்ன?    அ) 0    ஆ) 1

26. (5, −3) மற்றும் (7, −4) என்ற புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாடு காண்க.

27. நிரூபி: cos θ / (1 + sin θ) = sec θ − tan θ.

28. பின்வரும் புள்ளிகளின் சாய்வைக் காண்க: A(−a, b), B(3a, −b).

29. A என்பது 8 ஐ விடக் குறைவான இயல் எண்களின் கணம், B என்பது 8 ஐ விடக்குறைவான பகா எண்களின் கணம், C என்பது இரட்டைப் படை பகா எண்களின் கணம் எனில் A × (B − C) = (A × B) − (A × C) என்பதை சரிபார்க்க.

31. f(x) = x − 4, g(x) = x², h(x) = 3x − 5 எனில் f ∁ (g ∁ h) = (f ∁ g) ∁ h என நிறுவுக.

32. 396, 504, 636 ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ காண்க.

33. ஒரு பெருக்குத் தொடர் வரிசையில் அடுத்தடுத்த மூன்று உறுப்புகளின் பெருக்கல் பலன் 27, மற்றும் அவைகளில் இரண்டிரண்டு உறுப்புகளின் பெருக்கல் பலனின் கூடுதல் ⁵⁷/₂ எனில் அந்த மூன்று உறுப்புகளைக் காண்க.

34. ரேகாவிடம் 10 செ.மீ, 11 செ.மீ, 12 செ.மீ, ... 24 செ.மீ என்ற பக்க அளவுள்ள 15 சதுர வடிவ வண்ண காகிதங்கள் உள்ளன. இந்த வண்ண காகிதங்களை கொண்டு எவ்வளவு பரப்பை அலங்கரிக்க முடியும்?

35. ஐந்து, பத்து மற்றும் இருபது ரூபாய் நோட்டுகளின் மொத்த மதிப்பு ரூ.105 மற்றும் மொத்த நோட்டுகளின் எண்ணிக்கை 12. முதல் இரண்டு வகை நோட்டுகளின் எண்ணிக்கையை இடமாற்றம் செய்தால் முந்தைய மதிப்பை விட ரூ.20 அதிகரிக்கிறது எனில், எத்தனை ஐந்து, பத்து மற்றும் இருபது ரூபாய் நோட்டுகள் உள்ளன?

36. வர்க்கமூலம் காண்க: x⁴ − 12x³ + 42x² − 36x + 9.

37. ஓர் இடத்தில் x² அன்னங்கள் கூட்டமாக இருந்தன. மேகங்கள் கூடியதால் 10x அன்னங்கள் ஏரிக்குச் சென்றன. 8 ல் ஒரு பங்கு தோட்டத்திற்கு பறந்தன. மீதமுள்ள மூன்று ஜோடிகள் நீரில் விளையாடின எனில், மொத்த அன்னங்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.

38. தேல்ஸ் தேற்றம் எழுதி நிறுவுக.

39. (8, 6), (5, 11), (−5, 12) மற்றும் (−4, 3) என்ற புள்ளிகளை முனைகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு காண்க.

40. A(−4, 2) மற்றும் B(6, −4) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் மையக் குத்துக் கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

41. cosec θ + cot θ = p எனில் cos θ = (p² − 1) / (p² + 1) என்பதை நிரூபிக்கவும்.

43. அ) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR ன் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் ⁷/₃ என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக (அளவுக் காரணி ⁷/₃ > 1).
(அல்லது) ஆ) QR = 5 செமீ, ∠P = 30° மற்றும் P-யிலிருந்து QR க்கு வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் நீளம் 4.2 செ.மீ உடைய ΔPQR வரைக.

44. அ) y = ¹/₂ x என்ற நேரிய சமன்பாட்டின் / சார்பின் வரைபடம் வரைக. விகிதசம மாறிலியை அடையாளம் கண்டு அதனை வரைபடத்துடன் சரிபார்க்க. மேலும், 1) x = 9 எனில் y-யைக் காண்க. 2) y = 7.5 எனில் x-யைக் காண்க.
(அல்லது) ஆ) ஒரு பள்ளியானது, குறிப்பிட்ட சில போட்டிகளுக்கு, பரிசுத் தொகையினை எல்லா பங்கேற்பாளர்களுக்கும் பின்வருமாறு சமமாக பிரித்து வழங்குவதாக அறிவிக்கிறது:

பங்கேற்பாளர்களின் எண்ணிக்கை (x)	2	4	6	8	10
ஒவ்வொரு பங்கேற்பாளரின் தொகை ரூ (y)	180	90	60	45	36

அ) விகித சம மாறிலியைக் காண்க.
ஆ) மேற்காணும் தரவுகளுக்கு வரைபடம் வரைந்து, 12 பங்கேற்பாளர்கள் பங்கெடுத்துக் கொண்டால் ஒவ்வொரு பங்கேற்பாளரும் பெறும் பரிசுத் தொகை எவ்வளவு என்பதைக் காண்க.

1. If there are 1024 relations from a set A = {1, 2, 3, 4, 5} to a set B, then the number of elements in B is
(A) 3      (B) 2      (C) 4      (D) 8

2. If f: A → B is a bijective function and if n(B) = 7, then n(A) is equal to
(A) 7      (B) 49      (C) 1      (D) 14

3. If g = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)} is a function given by g(x) = αx + β then the values of α and β are
(A) (−1, 2)      (B) (2, −1)      (C) (−1, −2)      (D) (1, 2)

4. In an A.P a₁₈ − a₁₄ = 32, then find the common difference is
(A) 8      (B) −8      (C) −4      (D) 4

5. The sum of the exponents in the prime factorization of 1729 is
(A) 1      (B) 2      (C) 3      (D) 4

6. The first term of an arithmetic progression is unity and the common difference is 4. Which of the following will be a term of this A.P.
(A) 4551      (B) 10091      (C) 7881      (D) 13531

7. The next term of the sequence ³/₁₆, ¹/₈, ¹/₁₂, ¹/₁₈, ... is
(A) ¹/₂₄      (B) ¹/₂₇      (C) ²/₃      (D) ¹/₈₁

8. Which of the following should be added to make x⁴ + 64 a perfect square
(A) 4x²      (B) 16x²      (C) 8x²      (D) −8x⁴

9. Graph of a linear equation is a
(A) straight line      (B) circle      (C) parabola      (D) hyperbola

10. If ΔABC is an isosceles triangle with ∠C = 90° and AC = 5 cm, then AB is
(A) 2.5 cm      (B) 5 cm      (C) 10 cm      (D) 5√2 cm

11. If (5, 7), (3, p) and (6, 6) are collinear, then the value of p is
(A) 3      (B) 6      (C) 9      (D) 12

12. The straight line given by the equation x = 11 is
(A) parallel to X axis      (B) parallel to Y axis
(C) passing through the origin      (D) passing through the point (0, 11)

13. The equation of a straight line which is parallel to the line 2x + 5y − 2 = 0 is
A) 5x − 2y − 7 = 0      B) 4x + 10y − 4 = 0
C) 2x − 5y + 2 = 0      D) 5x + 2y − 2 = 0

14. If sin θ + cos θ = a and sec θ + cosec θ = b, then the value of b(a² − 1) is equal to
(A) 2a      (B) 3a      (C) 0      (D) 2ab

15. If A × B = {(3, 2), (3, 4), (5, 2), (5, 4)} then find A and B.

16. Show that the function defined by f(m) = m² + m + 3 is one-one function.

17. If f(x) = x² − 1, g(x) = x − 2 find a, if g ∁ f(a) = 1.

18. Find the least number that is divisible by the first ten natural numbers.

19. What is the time 100 hours after 7 a.m.?

20. If 1³ + 2³ + 3³ + ... + k³ = 44100 then find 1 + 2 + 3 + ... + k.

21. Find the excluded values, if t / (t² − 5t + 6).

22. If the difference between a number and its reciprocal is ²⁴/₅, find the number.

23. Find the nature of the roots of the quadratic equation: 2x² − 2x + 9 = 0.

24. D and E are respectively the points on the sides AB and AC of a ΔABC such that AB = 5.6 cm, AD = 1.4 cm, AC = 7.2 cm and AE = 1.8 cm, show that DE || BC.

25. What is the inclination of a line whose slope is (i) 0 (ii) 1

26. Find the equation of a straight line passing through (5, −3) and (7, −4).

27. Prove: cos θ / (1 + sin θ) = sec θ − tan θ.

28. Find the slope of the following points: A(−a, b), B(3a, −b).

29. Let A = the set of all natural numbers less than 8, B = the set of all prime numbers less than 8, C = the set of even prime number. Verify that A × (B − C) = (A × B) − (A × C).

31. If f(x) = x − 4, g(x) = x², h(x) = 3x − 5 then prove that f ∁ (g ∁ h) = (f ∁ g) ∁ h.

32. Find the HCF of 396, 504, 636.

33. In a G.P. the product of three consecutive terms is 27 and the sum of the product of two terms taken at a time is ⁵⁷/₂. Find the three terms.

34. Rekha has 15 square colour papers of sizes 10 cm, 11 cm, 12 cm, ..., 24 cm. How much area can be decorated with these colour papers?

35. There are 12 pieces of five, ten and twenty rupee currencies whose total value is 105. When first 2 sorts are interchanged in their numbers its value will be increased by 20. Find the number of currencies in each sort.

36. Find the square root of the following: x⁴ − 12x³ + 42x² − 36x + 9.

37. A flock of swans contained x² members. As the clouds gathered, 10x went to a lake and one-eighth of the members flew away to a garden. The remaining three pairs played about in the water. How many swans were there in total?

38. State and prove Thales theorem.

39. Find the area of the quadrilateral formed by the points (8, 6), (5, 11), (−5, 12) and (−4, 3).

40. Find the equation of the perpendicular bisector of the line joining the points A(−4, 2) and B(6, −4).

41. If cosec θ + cot θ = p then prove that cos θ = (p² − 1) / (p² + 1).

43. Construct a triangle similar to a given triangle PQR with its sides equal to ⁷/₃ of the corresponding sides of the triangle PQR (scale factor ⁷/₃ > 1).
(OR) Construct a triangle ΔPQR such that QR = 5 cm, ∠P = 30° and the altitude from P to QR is of length 4.2 cm.

44. Graph the following linear function y = ¹/₂ x. Identify the constant of variation and verify it with the graph. Also (i) find y when x = 9 (ii) find x when y = 7.5.
(OR) A school announces that for a certain competitions, the cash prize will be distributed for all the participants equally as shown below:

No. of participants (x)	2	4	6	8	10
Amount for each participant in ₹ (y)	180	90	60	45	36

(i) Find the constant of variation.
(ii) Graph the above data and hence, find how much will each participant get if the number of participants are 12.

1. (B) 2

2. (A) 7

3. (B) (2, −1)

4. (A) 8

5. (C) 3

6. (C) 7881

7. (B) ¹/₂₇

8. (B) 16x²

9. (A) straight line

10. (D) 5√2 cm

11. (C) 9

12. (B) parallel to Y axis

13. (B) 4x + 10y − 4 = 0

14. (A) 2a

15. A × B = {(3, 2), (3, 4), (5, 2), (5, 4)}
A = {3, 5},   B = {2, 4}

16. N = {1, 2, 3, ...}, f(m) = m² + m + 3
f(1) = 5, f(2) = 9, f(3) = 15
f = {(1, 5), (2, 9), (3, 15), ...}
Since different elements have different images, f is a 1-1 function.

17. g ∁ f(a) = 1
(a² − 1) − 2 = 1 ⇒ a² − 3 = 1 ⇒ a² = 4 ⇒ a = ±2

18. Numbers: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Prime factorisation: 2 = 2, 3 = 3, 4 = 2², 5 = 5, 6 = 2 × 3, 7 = 7, 8 = 2³, 9 = 3², 10 = 2 × 5
LCM = 2³ × 3² × 5¹ × 7¹ = 8 × 9 × 5 × 7 = 2520

19. 100 ≡ x (mod 24) ⇒ 100 − x = 24k
100 ≡ 4 (mod 24) ⇒ x = 4
The time 100 hours after 7 a.m. = 7 + 4 = 11 a.m.

20. 1³ + 2³ + 3³ + ... + k³ = 44100
[ {k(k + 1)} / 2 ]² = 44100
1 + 2 + 3 + ... + k = {k(k + 1)} / 2 = √44100 = 210

21. t / (t² − 5t + 6) = t / [(t − 3)(t − 2)]
(t − 3)(t − 2) = 0 ⇒ t = 3, 2
Excluded values are 3, 2

22. Let the number be x and its reciprocal be 1/x
x − (1/x) = ²⁴/₅ ⇒ (x² − 1) / x = ²⁴/₅ ⇒ 5x² − 5 = 24x
5x² − 24x − 5 = 0 ⇒ (x − 5)(5x + 1) = 0 ⇒ x = 5 or x = −¹/₅

23. 2x² − 2x + 9 = 0
a = 2, b = −2, c = 9
Δ = b² − 4ac = (−2)² − 4(2)(9) = 4 − 72 = −68 < 0
The equation will have no real roots (மெய் மூலங்கள் இல்லை).

24. BD = AB − AD = 5.6 − 1.4 = 4.2 cm
EC = AC − AE = 7.2 − 1.8 = 5.4 cm
AD / DB = 1.4 / 4.2 = ¹/₃   and   AE / EC = 1.8 / 5.4 = ¹/₃
Since AD / DB = AE / EC, by converse of Thales theorem, DE || BC.

25. (i) m = 0 ⇒ tan θ = 0 ⇒ θ = 0°
(ii) m = 1 ⇒ tan θ = 1 ⇒ θ = 45°

26. (y − y₁) / (y₂ − y₁) = (x − x₁) / (x₂ − x₁)
(y + 3) / (−4 + 3) = (x − 5) / (7 − 5) ⇒ (y + 3) / (−1) = (x − 5) / 2
2y + 6 = −x + 5 ⇒ x + 2y + 1 = 0

27. RHS = sec θ − tan θ = (1 / cos θ) − (sin θ / cos θ) = (1 − sin θ) / cos θ
= [ (1 − sin θ) / cos θ ] × [ (1 + sin θ) / (1 + sin θ) ] = (1 − sin²θ) / [cos θ(1 + sin θ)]
= cos²θ / [cos θ(1 + sin θ)] = cos θ / (1 + sin θ) = LHS. Hence proved.

28. A(−a, b), B(3a, −b)
Slope m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) = (−b − b) / [3a − (−a)] = −2b / 4a = −b / 2a

29. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {2, 3, 5, 7}, C = {2}
B − C = {3, 5, 7}
A × (B − C) = {(1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 3), (3, 5), (3, 7), (4, 3), (4, 5), (4, 7), (5, 3), (5, 5), (5, 7), (6, 3), (6, 5), (6, 7), (7, 3), (7, 5), (7, 7)} — (1)
A × B = 28 ordered pairs; A × C = {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (7, 2)}
(A × B) − (A × C) = Same 21 pairs as (1) — (2)
From (1) and (2), A × (B − C) = (A × B) − (A × C) is verified.

30. t(C) = F = ⁹/₅C + 32
(i) t(0) = ⁹/₅(0) + 32 = 32°F
(ii) t(28) = ⁹/₅(28) + 32 = 50.4 + 32 = 82.4°F
(iii) t(−10) = ⁹/₅(−10) + 32 = −18 + 32 = 14°F
(iv) t(C) = 212 ⇒ ⁹/₅C + 32 = 212 ⇒ ⁹/₅C = 180 ⇒ C = 180 × ⁵/₉ = 100°C
(v) C = F ⇒ C = ⁹/₅C + 32 ⇒ 5C − 9C = 160 ⇒ −4C = 160 ⇒ C = −40°

31. f(x) = x − 4, g(x) = x², h(x) = 3x − 5
g ∁ h(x) = g(3x − 5) = (3x − 5)²
f ∁ (g ∁ h)(x) = (3x − 5)² − 4 — (1)
f ∁ g(x) = x² − 4
(f ∁ g) ∁ h(x) = (3x − 5)² − 4 — (2)
From (1) and (2), f ∁ (g ∁ h) = (f ∁ g) ∁ h is verified.

32. HCF of 396, 504, 636:
504 = 396 × 1 + 108
396 = 108 × 3 + 72
108 = 72 × 1 + 36
72 = 36 × 2 + 0 ⇒ HCF(396, 504) = 36
Now, HCF of 636 and 36:
636 = 36 × 17 + 24
36 = 24 × 1 + 12
24 = 12 × 2 + 0 ⇒ HCF(636, 36) = 12
Therefore, HCF of 396, 504 and 636 = 12

33. Let three terms in G.P. be a/r, a, ar
Product = (a/r) × a × ar = 27 ⇒ a³ = 27 ⇒ a = 3
Sum of products taken two at a time: (a/r)(a) + a(ar) + (a/r)(ar) = ⁵⁷/₂
a²/r + a²r + a² = ⁵⁷/₂ ⇒ 9[(1 + r² + r) / r] = ⁵⁷/₂
6r² − 13r + 6 = 0 ⇒ (3r − 2)(2r − 3) = 0 ⇒ r = ²/₃ or r = ³/₂
When a = 3, r = ³/₂, the terms are 2, 3, ⁹/₂
When a = 3, r = ²/₃, the terms are ⁹/₂, 3, 2

34. Total Area = 10² + 11² + 12² + ... + 24²
= (1² + 2² + ... + 24²) − (1² + 2² + ... + 9²)
= [(24 × 25 × 49) / 6] − [(9 × 10 × 19) / 6] = 4900 − 285 = 4615 cm²

35. Let five, ten, and twenty rupee notes be x, y, z
x + y + z = 12 — (1)
5x + 10y + 20z = 105 ⇒ x + 2y + 4z = 21 — (2)
10x + 5y + 20z = 125 ⇒ 2x + y + 4z = 25 — (3)
Solving (1), (2), and (3): x = 7, y = 3, z = 2
Number of ₹5 currencies = 7, ₹10 currencies = 3, ₹20 currencies = 2

36. Square root of x⁴ − 12x³ + 42x² − 36x + 9 by long division:
Quotient: x² − 6x + 3
Required square root = |x² − 6x + 3|

37. Total swans = x²
x² − 10x − ¹/₈ x² = 6
⁷/₈ x² − 10x − 6 = 0 ⇒ 7x² − 80x − 48 = 0
x = [80 ± √(6400 − 4(7)(−48))] / 14 = (80 ± 88) / 14
x = 12 (or −⁴/₇, not possible) ⇒ x = 12
Total number of swans = x² = 12² = 144

38. Thales Theorem: Statement and Proof (Refer Textbook).

39. Points: (8, 6), (5, 11), (−5, 12), (−4, 3)
Area of quadrilateral = ¹/₂ [(88 + 60 − 15 − 24) − (30 − 55 − 48 + 24)]
= ¹/₂ [109 − (−49)] = ¹/₂ (158) = 79 sq. units

40. Slope of AB = (−4 − 2) / [6 − (−4)] = −6 / 10 = −³/₅
Slope of perpendicular bisector m = ⁵/₃
Midpoint of AB = [(−4 + 6) / 2, (2 − 4) / 2] = (1, −1)
Equation: y + 1 = ⁵/₃ (x − 1) ⇒ 3y + 3 = 5x − 5 ⇒ 5x − 3y − 8 = 0

41. cosec θ + cot θ = p — (1)
cosec²θ − cot²θ = 1 ⇒ cosec θ − cot θ = 1/p — (2)
Adding (1) and (2): 2 cosec θ = p + (1/p) = (p² + 1) / p
Subtracting (2) from (1): 2 cot θ = p − (1/p) = (p² − 1) / p
(2 cot θ) / (2 cosec θ) = [ (p² − 1) / p ] × [ p / (p² + 1) ]
cos θ = (p² − 1) / (p² + 1). Hence proved.

42. Fixed charge = ₹100, Charge per unit = ₹6, Units consumed = x, Total bill = y
(i) Equation of electricity bill: y = 6x + 100
(ii) For 50 units (x = 50): y = 6(50) + 100 = 300 + 100 = ₹400
(iii) If bill is ₹400 (or ₹2500):
When y = 400 ⇒ 6x = 300 ⇒ x = 50 units
When y = 2500 ⇒ 6x = 2400 ⇒ x = 400 units
(iv) Comparing with y = mx + c, y-intercept = 100

43. a) Similar triangle construction with scale factor ⁷/₃ > 1 • b) Triangle ΔPQR construction with base QR = 5 cm, vertical angle 30°, and altitude 4.2 cm.