10th Maths Quarterly Exam 2026 Question Paper & Answer Key | Theni District (TM)

காலாண்டுப் பொதுத் தேர்வு - 2026

1. A = {1, 2, 3, 4, 5} லிருந்து, B என்ற கணத்திற்கு 1024 உறவுகள் உள்ளது எனில், B-ல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை
அ) 3      ஆ) 2      இ) 4      ஈ) 8

2. n(A) = m மற்றும் n(B) = n என்க. A யிலிருந்து B க்கு வரையறுக்கப்பட்ட மொத்த உறவுகளின் எண்ணிக்கை
அ) 2^mn − 1      ஆ) 2^mn      இ) mⁿ      ஈ) n^m

3. f(x) = √(1 + x²) எனில்,
அ) f(xy) = f(x)·f(y)      ஆ) f(xy) ≤ f(x)·f(y)
இ) f(xy) ≥ f(x)·f(y)      ஈ) இவற்றில் எதுவும் இல்லை

4. யூக்ளிட் வகுத்தல் துணைத்தேற்றத்தை பயன்படுத்தி, எந்த மிகை முழுவின் கனத்தையும் 9 ஆல் வகுக்கும் போது கிடைக்கும் மீதிகள்
அ) 0, 1, 8      ஆ) 1, 4, 8      இ) 1, 3, 5      ஈ) 1, 2, 3

5. ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் 31 உறுப்புகள் உள்ளன. அதன் 16வது உறுப்பு m எனில், அந்த கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் உள்ள எல்லா உறுப்புகளின் கூடுதல்
அ) 16m      ஆ) 62m      இ) 31m      ஈ) ³¹/₂ m

6. t₁, t₂, t₃, ... என்பது ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசை எனில், t₆, t₁₂, t₁₈, ... என்பது
அ) ஒரு பெருக்குத்தொடர் வரிசை
ஆ) ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசை
இ) ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையுமல்ல, பெருக்குத்தொடர் வரிசையுமல்ல
ஈ) ஒரு மாறிலித் தொடர் வரிசை

7. x + y − 3z = −6, −7y + 7z = 7, 3z = 9 என்ற தொகுப்பின் தீர்வு
அ) x = 1, y = 2, z = 3      ஆ) x = −1, y = 2, z = 3
இ) x = −1, y = −2, z = 3      ஈ) x = 1, y = −2, z = 3

8. கீழ்வருவனவற்றுள் எது y² + 1/y² க்கு சமம் இல்லை?
அ) (y⁴ + 1) / y²      ஆ) [y + 1/y]²
இ) [y − 1/y]² + 2      ஈ) [y + 1/y]² − 2

9. (256 x⁸ y⁴ z¹⁰) / (25 x⁶ y⁶ z⁶) யின் வர்க்கமூலம்
அ) ¹⁶/₅ |(x² z⁴) / y²|      ஆ) 16 |y² / (x² z⁴)|      இ) ¹⁶/₅ |y / (x z²)|      ஈ) ¹⁶/₅ |(x z²) / y|

10. ΔLMN இல், ∠L = 60°, ∠M = 50°. மேலும் ΔLMN ~ ΔPQR எனில், ∠R ன் மதிப்பு
அ) 40°      ஆ) 70°      இ) 30°      ஈ) 110°

11. (−5, 0), (0, −5) மற்றும் (5, 0) ஆகிய புள்ளிகளால் அமைக்கப்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பு
அ) 0 ச.அலகுகள்      ஆ) 25 ச.அலகுகள்      இ) 5 ச.அலகுகள்      ஈ) எதுவுமில்லை

12. (5, 7), (3, p) மற்றும் (6, 6) என்பன ஒரு கோடமைந்தவை எனில், p யின் மதிப்பு
அ) 3      ஆ) 6      இ) 9      ஈ) 12

13. x = 11 எனக் கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடானது
அ) X அச்சுக்கு இணை      ஆ) Y அச்சுக்கு இணை
இ) ஆதிப்புள்ளி வழிச்செல்லும்      ஈ) (0, 11) என்ற புள்ளிவழிச் செல்லும்

14. tan θ cosec²θ − tan θ ன் மதிப்பு
அ) sec θ      ஆ) cot²θ      இ) sin θ      ஈ) cot θ

15. A = {1, 2, 3} மற்றும் B = {x | x என்பது 10 ஐ விடக் குறைவான பகா எண்} எனில், A × B மற்றும் B × A காண்க.

16. f ∁ f(k) = 5, f(k) = 2k − 1 எனில், k ன் மதிப்பைக் காண்க.

17. முதல் 10 இயல் எண்களால் மீதியின்றி வகுபடக்கூடிய சிறிய எண் எது?

18. 729, 243, 81, ... என்ற பெருக்குத்தொடர் வரிசையின் 7வது உறுப்பைக் காண்க.

19. (144 a⁸ b¹² c¹⁶) / (81 f¹² g⁴ h¹⁴) என்ற கோவையின் வர்க்கமூலம் காண்க.

20. (7p + 2) / (8p² + 13p + 5) என்ற கோவையின் விலக்கப்பட்ட மதிப்பு காண்க.

21. 5x − 10, 5x² − 20 ஆகியவற்றின் மீ.பொ.ம காண்க.

22. ΔABC யின் பக்கங்கள் AB மற்றும் AC யின் மீதுள்ள புள்ளிகள் முறையே D மற்றும் E ஆனது DE || BC என்றவாறு அமைந்துள்ளது. AD / DB = ³/₄ மற்றும் AC = 15 செமீ எனில், AE யின் மதிப்பு காண்க.

23. P(−1.5, 3), Q(6, −2), R(−3, 4) ஆகிய புள்ளிகள் ஒரே நேர்கோட்டில் அமையுமா எனத் தீர்மானிக்கவும்.

24. (−1, 2) என்ற புள்ளி வழி செல்வதும், சாய்வு −⁵/₄ உடையதுமான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

25. x − 2y + 3 = 0 மற்றும் 6x + 3y + 8 = 0 ஆகிய இரண்டு கோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து எனக் காட்டுக.

26. tan²θ − sin²θ = tan²θ sin²θ என்பதை நிரூபிக்க.

27. (1 − tan²θ) / (cot²θ − 1) = tan²θ என்பதை நிரூபிக்க.

28. [கட்டாய வினா] 3 + k, 18 − k, 5k + 1 என்பவை ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் உள்ளன எனில், k ன் மதிப்பு காண்க.

29. A என்பது 8 ஐ விடக்குறைவான இயல் எண்களின் கணம், B என்பது 8-ஐ விடக்குறைவான பகா எண்களின் கணம், C என்பது இரட்டைப் பகா எண் எனில், (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C) என்பதைச் சரிபார்க்க.

31. 396, 504, 636 ஆகியவற்றின் மீ.பெ.வ. காண்க.

32. 1230 மற்றும் 1926 ஆகிய எண்களை வகுக்கும் போது மீதி 12 ஐத் தரக்கூடிய மிகப்பெரிய எண்ணைக் காண்க.

33. ரேகாவிடம் 10 செ.மீ, 11 செ.மீ, 12 செ.மீ, ..., 24 செ.மீ என்ற பக்க அளவுள்ள 15 சதுர வடிவ வண்ண காகிதங்கள் உள்ளன. இந்த வண்ணக் காகிதங்களைக் கொண்டு எவ்வளவு பரப்பை அடைத்து அலங்கரிக்க முடியும்?

34. தீர்க்க: x + y + z = 5 ; 2x − y + z = 9 ; x − 2y + 3z = 16

35. x⁴ + 3x³ − x − 3 மற்றும் x³ + x² − 5x + 3 என்ற பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் மீ.பெ.வ. காண்க.

36. சுருக்குக: [(b² + 3b − 28) / (b² + 4b + 4)] ÷ [(b² − 49) / (b² − 5b − 14)]

37. விகித சம மாறிலி தேற்றத்தை (தேல்ஸ் தேற்றம்) எழுதி நிரூபிக்க.

38. (−4, −2), (−3, k), (3, −2) மற்றும் (2, 3) என்ற முனைகளை உச்சிகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பளவு 28 ச.அலகுகள் எனில், k இன் மதிப்பு காண்க.

39. X அச்சுக்கு இணையாகவும், 7x − 3y = −12 மற்றும் 2y = x + 3 என்ற கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளிகள் வழியாகச் செல்லும் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டினைக் காண்க.

40. A(−4, −2), B(5, −1), C(6, 5) மற்றும் D(−7, 6) ஆகியவற்றை முனைப்புள்ளிகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள் ஓர் இணைகரத்தை அமைக்கும் எனக் காட்டுக.

41. நிரூபிக்க: √[(1 + sin θ) / (1 − sin θ)] + √[(1 − sin θ) / (1 + sin θ)] = 2 sec θ.

43. அ) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR ன் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் ⁷/₃ என்றவாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக (அளவுக்காரணி ⁷/₃ > 1).
(அல்லது) ஆ) PQ = 8 செ.மீ, ∠R = 60°, உச்சி R லிருந்து PQ க்கு வரையப்பட்ட நடுக்கோட்டின் நீளம் RG = 5.8 செ.மீ என இருக்குமாறு ΔPQR வரைக. R-லிருந்து PQ க்கு வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் நீளம் காண்க.

1. ஆ) 2

2. ஆ) 2^mn

3. ஆ) f(xy) ≤ f(x)·f(y)

4. ஆ) 0, 1, 8

5. இ) 31m

6. ஆ) ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசை

7. அ) x = 1, y = 2, z = 3

8. ஆ) [y + 1/y]²

9. ஈ) ¹⁶/₅ |(x z²) / y|

10. ஆ) 70°

11. ஆ) 25 ச.அலகுகள்

12. இ) 9

13. ஆ) Y-அச்சுக்கு இணை

14. ஈ) cot θ

15. A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 5, 7}
A × B = {(1, 2), (1, 3), (1, 5), (1, 7), (2, 2), (2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 2), (3, 3), (3, 5), (3, 7)}
B × A = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (7, 1), (7, 2), (7, 3)}

16. f ∁ f(k) = f[f(k)] = f(2k − 1) = 2(2k − 1) − 1 = 4k − 3
5 = 4k − 3 ⇒ 4k = 8 ⇒ k = 2

17. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ஆகியவற்றின் பகா காரணிப்படுத்துதல்:
மீ.பொ.ம = 2³ × 3² × 5 × 7 = 8 × 9 × 35 = 2520

18. t_n = a rⁿ⁻¹
a = 729, r = t₂ / t₁ = 243 / 729 = ¹/₃
t₇ = 729 × (¹/₃)⁷⁻¹ = 729 × (¹/₃)⁶ = 729 / 729 = 1

19. √[ (144 a⁸ b¹² c¹⁶) / (81 f¹² g⁴ h¹⁴) ] = (12 a⁴ b⁶ c⁸) / (9 f⁶ g² h⁷) = ⁴/₃ |(a⁴ b⁶ c⁸) / (f⁶ g² h⁷)|

20. (7p + 2) / (8p² + 13p + 5) = (7p + 2) / [(p + 1)(8p + 5)]
(p + 1)(8p + 5) = 0 ⇒ p = −1, p = −⁵/₈
விலக்கப்பட்ட மதிப்புகள்: −1, −⁵/₈

21. 5x − 10 = 5(x − 2)
5x² − 20 = 5(x² − 4) = 5(x + 2)(x − 2)
மீ.பொ.ம = 5(x + 2)(x − 2) அல்லது 5(x² − 4)

22. தேல்ஸ் தேற்றப்படி, AD / DB = AE / EC
AE = x என்க; EC = AC − AE = 15 − x
³/₄ = x / (15 − x) ⇒ 4x = 45 − 3x ⇒ 7x = 45 ⇒ x = AE = ⁴⁵/₇ = 6.43 செ.மீ

23. ΔPQR ன் பரப்பு = ¹/₂ | [(−1.5 × −2 + 6 × 4 + −3 × 3) − (3 × 6 + −2 × −3 + 4 × −1.5)] |
= ¹/₂ | (3 + 24 − 9) − (18 + 6 − 6) | = ¹/₂ |18 − 18| = ¹/₂(0) = 0
முக்கோணத்தின் பரப்பு 0 என்பதால், கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரே நேர்கோட்டில் அமையும்.

24. y − y₁ = m(x − x₁)
y − 2 = −⁵/₄ [x − (−1)] ⇒ 4y − 8 = −5x − 5
5x + 4y − 3 = 0

25. x − 2y + 3 = 0 ன் சாய்வு m₁ = −1 / (−2) = ¹/₂
6x + 3y + 8 = 0 ன் சாய்வு m₂ = −6 / 3 = −2
m₁ × m₂ = (¹/₂) × (−2) = −1
சாய்வுகளின் பெருக்கற்பலன் −1 என்பதால், இவ்விரு கோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தானவை.

26. tan²θ − sin²θ = (sin²θ / cos²θ) − sin²θ = sin²θ [(1 / cos²θ) − 1]
= sin²θ [(1 − cos²θ) / cos²θ] = sin²θ × (sin²θ / cos²θ) = tan²θ sin²θ. நிரூபிக்கப்பட்டது.

27. LHS = (1 − tan²θ) / (cot²θ − 1) = [1 − (sin²θ / cos²θ)] / [(cos²θ / sin²θ) − 1]
= [ (cos²θ − sin²θ) / cos²θ ] / [ (cos²θ − sin²θ) / sin²θ ] = sin²θ / cos²θ = tan²θ = RHS. நிரூபிக்கப்பட்டது.

28. கூட்டுத்தொடரில் t₂ − t₁ = t₃ − t₂
(18 − k) − (3 + k) = (5k + 1) − (18 − k)
15 − 2k = 6k − 17 ⇒ 8k = 32 ⇒ k = 4

29. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {2, 3, 5, 7}, C = {2}
A ∩ B = {2, 3, 5, 7}
(A ∩ B) × C = {(2, 2), (3, 2), (5, 2), (7, 2)} — (1)
A × C = {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (7, 2)}
B × C = {(2, 2), (3, 2), (5, 2), (7, 2)}
(A × C) ∩ (B × C) = {(2, 2), (3, 2), (5, 2), (7, 2)} — (2)
(1) = (2) ⇒ (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C) சரிபார்க்கப்பட்டது.

31. யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறை: a = bq + r
504 = 396 × 1 + 108
396 = 108 × 3 + 72
108 = 72 × 1 + 36
72 = 36 × 2 + 0 ⇒ மீ.பொ.வ(504, 396) = 36
636 மற்றும் 36 ன் மீ.பொ.வ:
636 = 36 × 17 + 24
36 = 24 × 1 + 12
24 = 12 × 2 + 0 ⇒ மீ.பொ.வ = 12
எனவே மீ.பொ.வ(396, 504, 636) = 12

32. 1230 − 12 = 1218 ; 1926 − 12 = 1914
1218 மற்றும் 1914 ன் மீ.பொ.வ:
1914 = 1218 × 1 + 696
1218 = 696 × 1 + 522
696 = 522 × 1 + 174
522 = 174 × 3 + 0
மீதி 12 ஐத் தரக்கூடிய மிகப்பெரிய எண் = 174

33. பரப்பளவு = 10² + 11² + ... + 24² = (1² + 2² + ... + 24²) − (1² + 2² + ... + 9²)
= [ (24 × 25 × 49) / 6 ] − [ (9 × 10 × 19) / 6 ] = 4900 − 285 = 4615 செ.மீ²

34.
x + y + z = 5 — (1)
2x − y + z = 9 — (2)
x − 2y + 3z = 16 — (3)
(1) + (2) ⇒ 3x + 2z = 14 — (4)
(2) × 2 − (3) ⇒ 3x − z = 2 — (5)
(4) − (5) ⇒ 3z = 12 ⇒ z = 4
(5) இலிருந்து: 3x − 4 = 2 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2
(1) இலிருந்து: 2 + y + 4 = 5 ⇒ y = −1
தீர்வு: x = 2, y = −1, z = 4

35. f(x) = x⁴ + 3x³ − x − 3,   g(x) = x³ + x² − 5x + 3
f(x) ஐ g(x) ஆல் வகுக்க மீதி: 3x² + 6x − 9 = 3(x² + 2x − 3) கிடைக்கிறது.
இப்போது g(x) ஐ (x² + 2x − 3) ஆல் வகுக்க மீதி 0 கிடைக்கிறது.
மீ.பெ.வ = x² + 2x − 3

36. [(b² + 3b − 28) / (b² + 4b + 4)] ÷ [(b² − 49) / (b² − 5b − 14)]
= [ (b + 7)(b − 4) / (b + 2)² ] × [ (b − 7)(b + 2) / ((b − 7)(b + 7)) ]
= [(b − 4)(b + 7) / ((b + 2)(b + 7))] = (b − 4) / (b + 2)

37. விகித சம மாறிலி தேற்றம் (தேல்ஸ் தேற்றம்): கூற்று மற்றும் நிரூபணம் (புத்தகத்தைப் பார்க்கவும்).

38. நாற்கரத்தின் பரப்பு = ¹/₂ | [(−4k + 6 + 9 − 4) − (6 + 3k − 4 − 12)] | = 28
| (−4k + 11) − (3k − 10) | = 56 ⇒ |−7k + 21| = 56
−7k + 21 = 56 ⇒ −7k = 35 ⇒ k = −5 (அல்லது −7k + 21 = −56 ⇒ k = 11)

39. 7x − 3y = −12 — (1) மற்றும் −x + 2y = 3 — (2)
(2) × 7 ⇒ −7x + 14y = 21
கூட்ட: 11y = 9 ⇒ y = ⁹/₁₁
வெட்டுப்புள்ளி வழியாகச் செல்லும் X-அச்சுக்கு இணையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு: y = c ⇒ y = ⁹/₁₁ ⇒ 11y − 9 = 0

40. நடுப்புள்ளிகள்: E = (¹/₂, −³/₂), F = (¹¹/₂, 2), G = (−¹/₂, ¹¹/₂), H = (−¹¹/₂, 2)
சாய்வு EF = ⁷/₁₀, சாய்வு GH = ⁷/₁₀ ⇒ EF || GH
சாய்வு FG = −⁷/₁₂, சாய்வு EH = −⁷/₁₂ ⇒ FG || EH
எதிர் பக்கங்கள் இணை என்பதால் EFGH ஓர் இணைகரம் ஆகும்.

41. LHS = √[ (1 + sin θ)² / cos²θ ] + √[ (1 − sin θ)² / cos²θ ]
= [(1 + sin θ) / cos θ] + [(1 − sin θ) / cos θ] = (1 + sin θ + 1 − sin θ) / cos θ
= 2 / cos θ = 2 sec θ = RHS. நிரூபிக்கப்பட்டது.

42.
i) f(3) = 3 + 2 = 5
ii) f(0) = 2
iii) f(−1.5) = −1.5 − 1 = −2.5
iv) f(2) = 2 + 2 = 4 ; f(−2) = −2 − 1 = −3 ⇒ f(2) + f(−2) = 4 + (−3) = 1

43. அ) ⁷/₃ > 1 என்ற அளவுக்காரணி கொண்ட வடிவொத்த முக்கோணம் வரைதல் • ஆ) ΔPQR வரைந்து குத்துக்கோட்டின் நீளம் அளவிடுதல்.