10th Maths Quarterly Exam 2026 Question Paper & Answer Key

Accelerate your math revision with the official 10th Maths Quarterly Exam 2026 Question Paper set for Tamil Medium schools across the scenic Tenkasi District. This district-level terminal evaluation serves as an invaluable diagnostic tool for Tamil Nadu Samacheer Kalvi state board students to measure their accuracy, problem-solving speed, and analytical reasoning under strict exam conditions. The paper offers balanced coverage of early high-yield chapters, including Relations and Functions, Arithmetic and Geometric Progressions, polynomial Algebra matrices, and critical Geometry theorems. Reviewing this paper alongside the comprehensive Tamil-medium answer keys enables you to break down complex 5-mark proofs, eliminate simple algebraic errors, and perfect the structured step-by-step presentation format required to secure a perfect centum score on your final board examinations.

Tsi10M • தென்காசி மாவட்டம் வகுப்பு 10 பதிவு எண்: [_________]

காலாண்டுப் பொதுத் தேர்வு - செப்டம்பர் 2026

கணிதம்

காலம்: 3.00 மணி மதிப்பெண்கள்: 100

பகுதி - அ • I. சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக: 14 × 1 = 14

1) n(A × B) = 6 மற்றும் A = {1, 3} எனில் n(B) ஆனது
a) 1 b) 2 c) 3 d) 6

விடை: c) 3
தீர்வு: n(A) = 2. n(A × B) = n(A) × n(B) என்பதால், 6 = 2 × n(B) ⇒ n(B) = 6 / 2 = 3.

2) A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 8, 9, 10} மற்றும் f: A → B ஆனது f = {(1, 4), (2, 8), (3, 9), (4, 10)} எனக் கொடுக்கப்பட்டால் f என்பது
a) பலவற்றிலிருந்து ஒன்றுக்கான சார்பு b) சமனிச் சார்பு c) ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு d) உட்சார்பு

விடை: c) ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு
தீர்வு: A-யிலுள்ள வெவ்வேறு உறுப்புகளுக்கு B-யில் வெவ்வேறு நிழலுருக்கள் உள்ளதால் இது ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு ஆகும்.

3) g = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)} என்ற சார்பானது g(x) = αx + β எனக் கொடுக்கப்பட்டால் α, β-ன் மதிப்பானது
a) (−1, 2) b) (2, −1) c) (−1, −2) d) (1, 2)

விடை: b) (2, −1)
தீர்வு: g(1) = α(1) + β = 1 ⇒ α + β = 1. g(2) = α(2) + β = 3 ⇒ 2α + β = 3. இரண்டையும் கழிக்க α = 2 கிடைக்கும்; எனவே 2 + β = 1 ⇒ β = −1.

4) ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் முதல் உறுப்பு 1 மற்றும் பொதுவித்தியாசம் 4 எனில், பின்வரும் எண்களில் எது இந்தக் கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் அமையும்?
a) 4551 b) 10091 c) 7881 d) 13531

விடை: c) 7881
தீர்வு: t_n = 1 + (n − 1)4 = 4n − 3. ஆகவே, t_n + 3 ஆனது 4-ஆல் வகுபட வேண்டும். 7881 + 3 = 7884 ÷ 4 = 1971 (இயல் எண்).

5) (1³ + 2³ + 3³ + ... + 15³) − (1 + 2 + 3 + ... + 15) -ன் மதிப்பு
a) 14400 b) 14200 c) 14280 d) 14520

விடை: c) 14280
தீர்வு: [(15 × 16)/2]² − [(15 × 16)/2] = 120² − 120 = 14400 − 120 = 14280.

6) யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றம் a = bq + r இல் வகுத்தலில் கிடைக்கும் மீதியானது _______ ஐ விட எப்பொழுதும் சிறியதாகவே அமையும்.
a) வகுக்கும் எண் b) வகுபடும் எண் c) ஈவு d) பூச்சியம்

விடை: a) வகுக்கும் எண்
தீர்வு: யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றத்தின்படி 0 ≤ r < b, இங்கு b என்பது வகுக்கும் எண் (divisor) ஆகும்.

7) x + y − 3z = −6, −7y + 7z = 7, 3z = 9 என்ற தொகுப்பின் தீர்வு
a) x = 1, y = 2, z = 3 b) x = −1, y = 2, z = 3
c) x = −1, y = −2, z = 3 d) x = 1, y = −2, z = −3

விடை: a) x = 1, y = 2, z = 3
தீர்வு: 3z = 9 ⇒ z = 3. −7y + 7(3) = 7 ⇒ −7y = −14 ⇒ y = 2. x + 2 − 3(3) = −6 ⇒ x − 7 = −6 ⇒ x = 1.

8) (2x − 1)² = 9 -ன் தீர்வு
a) −1 b) 2 c) −1, 2 d) இதில் எதுவும் இல்லை

விடை: c) −1, 2
தீர்வு: 2x − 1 = ±3 ⇒ 2x = 1 + 3 = 4 ⇒ x = 2 அல்லது 2x = 1 − 3 = −2 ⇒ x = −1.

9) x(x + 14) ஐ முழுவர்க்கமாக மாற்ற அதனுடன் பின்வருவனவற்றுள் எதைக் கூட்ட வேண்டும்?
a) 14 b) 7 c) √7 d) 49

விடை: d) 49
தீர்வு: x(x + 14) = x² + 14x = x² + 2(x)(7). வர்க்கத்தை நிறைவு செய்ய 7² = 49 ஐக் கூட்டினால் (x + 7)² ஆகும்.

10) இருசமபக்க முக்கோணம் ΔABC-யில் ∠C = 90° மற்றும் AC = 5 செ.மீ எனில் AB ஆனது
a) 2.5 செ.மீ b) 5 செ.மீ c) 10 செ.மீ d) 5√2 செ.மீ

விடை: d) 5√2 செ.மீ
தீர்வு: இருசமபக்க செங்கோண முக்கோணம் என்பதால் BC = AC = 5 செ.மீ. பிதாகரஸ் தேற்றப்படி AB = √(5² + 5²) = √50 = 5√2 செ.மீ.

11) கொடுக்கப்பட்ட படத்தில், ∠BAC = 90° மற்றும் AD ⊥ BC எனில்
a) BD · CD = BC² b) AB · AC = BC²
c) BD · CD = AD² d) AB · AC = AD²

விடை: c) BD · CD = AD²
தீர்வு: செங்கோண முக்கோண வடிவொத்த விதிகளின்படி ΔDBA ~ ΔDAC ⇒ BD / AD = AD / CD ⇒ BD · CD = AD².

12) x = 11 எனக் கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டின் சமன்பாடானது
a) x-அச்சுக்கு இணை b) y-அச்சுக்கு இணை
c) ஆதிப்புள்ளி வழிச் செல்லும் d) (0, 11) என்ற புள்ளி வழிச் செல்லும்

விடை: b) y-அச்சுக்கு இணை
தீர்வு: x = c என்ற வடிவில் உள்ள நேர்கோடு எப்போதும் y-அச்சுக்கு இணையான ஒரு செங்குத்துக் கோடாகும்.

13) 7x − 3y + 4 = 0 என்ற நேர்கோட்டிற்குச் செங்குத்தாகவும், ஆதிப்புள்ளி வழிச் செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாடு
a) 7x − 3y + 4 = 0 b) 3x − 7y + 4 = 0
c) 3x + 7y = 0 d) 7x − 3y = 0

விடை: c) 3x + 7y = 0
தீர்வு: 7x − 3y + 4 = 0-க்கு செங்குத்தான கோடு 3x + 7y + k = 0. இது ஆதிப்புள்ளி (0, 0) வழி செல்வதால் k = 0 ⇒ 3x + 7y = 0.

14) சாய்வைப் பயன்படுத்தி நாற்கரமானது ஓர் இணைகரமாக உள்ளது எனக் கூற நாம் காண வேண்டியவை
a) இரு பக்கங்களின் சாய்வுகள்
b) இரு சோடி எதிர் பக்கங்களின் சாய்வுகள்
c) அனைத்துப் பக்கங்களின் நீளங்கள்
d) இரு பக்கங்களின் சாய்வுகள் மற்றும் நீளங்கள்

விடை: b) இரு சோடி எதிர் பக்கங்களின் சாய்வுகள்
தீர்வு: ஓர் இணைகரத்தில் இரு சோடி எதிர் பக்கங்களும் ஒன்றுக்கொன்று இணையாக (சம சாய்வுகளைக் கொண்டதாக) இருக்கும்.

பகுதி - ஆ • II. எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கு விடையளி (வினா எண் 28 கட்டாயம்): 10 × 2 = 20

15) A = {1, 3, 5} மற்றும் B = {2, 3} எனில் A × B மற்றும் B × A-ஐ காண்க.

தீர்வு:
A × B = {(1, 2), (1, 3), (3, 2), (3, 3), (5, 2), (5, 3)}.
B × A = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}.

16) f(x) = x² − 1 எனில் f ∁ f ∁ f -ஐக் காண்க.

தீர்வு:
(f ∁ f)(x) = f(x² − 1) = (x² − 1)² − 1 = x⁴ − 2x².
(f ∁ f ∁ f)(x) = f(x⁴ − 2x²) = (x⁴ − 2x²)² − 1.

17) a, b மற்றும் c என்ற மிகை முழுக்களை 13 ஆல் வகுக்கும்போது கிடைக்கும் மீதிகள் முறையே 9, 7, 10 எனில் a + b + c ஆனது 13 ஆல் வகுபடும் என நிரூபி.

தீர்வு:
யூக்ளிடின் துணைத்தேற்றப்படி: a = 13q₁ + 9, b = 13q₂ + 7, c = 13q₃ + 10.
a + b + c = 13(q₁ + q₂ + q₃) + (9 + 7 + 10) = 13(q₁ + q₂ + q₃) + 26 = 13(q₁ + q₂ + q₃ + 2).
இது 13-ன் பெருக்கலாக உள்ளதால், a + b + c ஆனது 13 ஆல் மீதியின்றி வகுபடும்.

18) a^b × b^a = 800 என்றவாறு அமையும் இரு மிகை முழுக்கள் 'a' மற்றும் 'b'-ஐ காண்க.

தீர்வு:
800 = 32 × 25 = 2⁵ × 5².
a^b × b^a உடன் ஒப்பிட: a = 2, b = 5 (அல்லது a = 5, b = 2).

19) இன்று செவ்வாய்கிழமை, என்னுடைய மாமா 45 நாட்களுக்குப் பிறகு வருவதாகக் கூறியுள்ளார். என்னுடைய மாமா எந்தக் கிழமையில் வருவார்?

தீர்வு:
செவ்வாய்கிழமையை 2-வது நாள் எனக் கொள்வோம். 45 ≡ 3 (mod 7).
மாமா வரும் நாள் = 2 + 3 = 5-வது நாள், அதாவது வெள்ளிக்கிழமை.

20) கீழ்க்கண்ட கோவைக்கு விலக்கப்பட்ட மதிப்புகள் இருப்பின் அவற்றைக் காண்க: (x³ − 27) / (x³ + x² − 6x).

தீர்வு:
பகுதியை பூச்சியமாக்க: x³ + x² − 6x = 0 ⇒ x(x² + x − 6) = 0.
x(x + 3)(x − 2) = 0 ⇒ x = 0, −3, 2.
விலக்கப்பட்ட மதிப்புகள்: 0, −3, 2.

21) கூட்டுக: [x³ / (x − y)] + [y³ / (y − x)].

தீர்வு:
[x³ / (x − y)] − [y³ / (x − y)] = (x³ − y³) / (x − y)
= [(x − y)(x² + xy + y²)] / (x − y) = x² + xy + y².

22) பின்வரும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்களின் தன்மையைக் காண்க: 9x² − 24x + 16 = 0.

தீர்வு:
a = 9, b = −24, c = 16.
தன்மை காட்டி Δ = b² − 4ac = (−24)² − 4(9)(16) = 576 − 576 = 0.
Δ = 0 என்பதால், மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம்.

23) ΔABC ஆனது ΔDEF-க்கு வடிவொத்தவை. மேலும் BC = 3 செ.மீ, EF = 4 செ.மீ மற்றும் முக்கோணம் ABC-யின் பரப்பு = 54 செ.மீ² எனில், ΔDEF-யின் பரப்பைக் காண்க.

தீர்வு:
பரப்பு(ΔABC) / பரப்பு(ΔDEF) = BC² / EF² ⇒ 54 / பரப்பு(ΔDEF) = 3² / 4² = 9 / 16.
பரப்பு(ΔDEF) = (54 × 16) / 9 = 6 × 16 = 96 செ.மீ².

24) ΔABC-யின் பக்கங்கள் AB மற்றும் AC-யின் மீதுள்ள புள்ளிகள் முறையே D மற்றும் E ஆனது DE || BC என்றவாறு அமைந்துள்ளது. AD / DB = ³/₄ மற்றும் AC = 15 செ.மீ எனில் AE-யின் மதிப்பு காண்க.

தீர்வு:
தேல்ஸ் தேற்றப்படி, AD / DB = AE / EC.
AE = x என்க; EC = 15 − x.
³/₄ = x / (15 − x) ⇒ 4x = 45 − 3x ⇒ 7x = 45 ⇒ AE = ⁴⁵/₇ செ.மீ ≈ 6.43 செ.மீ.

25) P(−1.5, 3), Q(6, −2) மற்றும் R(−3, 4) ஆகிய புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும் எனக் காட்டுக.

தீர்வு:
பரப்பு(ΔPQR) = ¹/₂ | x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂) |
= ¹/₂ | −1.5(−2 − 4) + 6(4 − 3) + (−3)(3 − (−2)) | = ¹/₂ | −1.5(−6) + 6(1) − 3(5) | = ¹/₂ | 9 + 6 − 15 | = 0.
பரப்பளவு 0 என்பதால் இப்புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும்.

26) √3 x + (1 − √3)y = 3 என்ற நேர்கோட்டு சமன்பாட்டின் சாய்வு, y-வெட்டுத்துண்டு ஆகியவற்றைக் காண்க.

தீர்வு:
(1 − √3)y = −√3 x + 3 ⇒ y = [(−√3) / (1 − √3)] x + [3 / (1 − √3)].
சாய்வு m = √3 / (√3 − 1) = (3 + √3) / 2.
y-வெட்டுத்துண்டு c = 3 / (1 − √3) = −3(1 + √3) / 2.

27) √[(1 + cos θ) / (1 − cos θ)] = cosec θ + cot θ என்பதை நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு:
LHS = √[ ((1 + cos θ)(1 + cos θ)) / ((1 − cos θ)(1 + cos θ)) ] = √[ (1 + cos θ)² / sin²θ ]
= (1 + cos θ) / sin θ = (1 / sin θ) + (cos θ / sin θ) = cosec θ + cot θ = RHS. நிரூபிக்கப்பட்டது.

28) [கட்டாய வினா] 3, x, 6.75 என்பது ஒரு பெருக்குத்தொடர் வரிசை எனில் x மற்றும் பொதுவிகிதம் காண்க.

தீர்வு:
பெருக்குத்தொடர் என்பதால் x² = 3 × 6.75 = 20.25 ⇒ x = ±4.5.
பொதுவிகிதம் r = x / 3 = ±4.5 / 3 = ±1.5.

பகுதி - இ • III. எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கு விடையளி (வினா எண் 42 கட்டாயம்): 10 × 5 = 50

29) A = {x ∈ N | 1 < x < 4}, B = {x ∈ W | 0 ≤ x < 2} மற்றும் C = {x ∈ N | x < 3} எனில் A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) என்பதை சரிபார்க்க.

தீர்வு:
A = {2, 3}, B = {0, 1}, C = {1, 2}.
B ∪ C = {0, 1, 2}.
LHS = A × (B ∪ C) = {(2, 0), (2, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 1), (3, 2)} — (1)
A × B = {(2, 0), (2, 1), (3, 0), (3, 1)}.
A × C = {(2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}.
RHS = (A × B) ∪ (A × C) = {(2, 0), (2, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 1), (3, 2)} — (2)
(1) = (2) எனவே சரிபார்க்கப்பட்டது.

30) f: A → B என்ற சார்பானது f(x) = (x / 2) − 1 என வரையறுக்கப்படுகிறது. இங்கு A = {2, 4, 6, 10, 12}, B = {0, 1, 2, 4, 5, 9} ஆக இருக்கும் பொழுது சார்பு f-ஐ பின்வரும் முறைகளில் குறிக்க: (i) வரிசைச் சோடிகளின் கணம் (ii) அட்டவணை (iii) அம்புக்குறிப்படம் (iv) வரைபடம்.

தீர்வு:
f(2) = 0, f(4) = 1, f(6) = 2, f(10) = 4, f(12) = 5.
(i) வரிசைச் சோடிகளின் கணம்: f = {(2, 0), (4, 1), (6, 2), (10, 4), (12, 5)}.
(ii) அட்டவணை:

x	2	4	6	10	12
f(x)	0	1	2	4	5

(iii) அம்புக்குறிப்படம்: A-லிருந்து B-க்கு அம்பு வரைதல்: 2 → 0, 4 → 1, 6 → 2, 10 → 4, 12 → 5.
(iv) வரைபடம்: (2, 0), (4, 1), (6, 2), (10, 4), (12, 5) ஆகிய புள்ளிகளை கார்ட்டீசியன் தளத்தில் குறித்துக் காட்டுதல்.

31) சார்பு f: R → R ஆனது
f(x) = 2x + 7, x < −2
f(x) = x² − 2, −2 ≤ x < 3
f(x) = 3x − 2, x ≥ 3
என வரையறுக்கப்பட்டால்: (i) f(4) (ii) f(−2) (iii) f(4) + 2f(1) (iv) [f(1) − 3f(4)] / f(−3) காண்க.

தீர்வு:
(i) f(4) = 3(4) − 2 = 10.
(ii) f(−2) = (−2)² − 2 = 4 − 2 = 2.
(iii) f(1) = 1² − 2 = −1 ⇒ f(4) + 2f(1) = 10 + 2(−1) = 8.
(iv) f(−3) = 2(−3) + 7 = 1 ⇒ [f(1) − 3f(4)] / f(−3) = [−1 − 3(10)] / 1 = −31.

32) 24, 15, 36 ஆகிய எண்களால் மீதியின்றி வகுபடும் மிகப்பெரிய ஆறிலக்க எண்ணைக் காண்க.

தீர்வு:
24, 15, 36 ஆகியவற்றின் மீ.பொ.ம = 2³ × 3² × 5 = 360.
மிகப்பெரிய 6-இலக்க எண் = 999999.
999999 ÷ 360 дает மீதி 279.
தேவையான எண் = 999999 − 279 = 999720.

33) 8, 7 ¹/₄, 6 ¹/₂, 5 ³/₄, ... என்ற கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் முதல் 15 உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.

தீர்வு:
a = 8, d = 7 ¹/₄ − 8 = ²⁹/₄ − 8 = −³/₄.
S₁₅ = (15 / 2) [2(8) + (15 − 1)(−³/₄)] = (15 / 2) [16 − ²¹/₂] = (15 / 2) [¹¹/₂] = ¹⁶⁵/₄ = 41 ¹/₄.

34) ரேகாவிடம் 10 செ.மீ, 11 செ.மீ, 12 செ.மீ, ..., 24 செ.மீ என்ற பக்க அளவுள்ள 15 சதுரவடிவ வண்ணக் காகிதங்கள் உள்ளன. இந்த வண்ணக் காகிதங்களைக் கொண்டு எவ்வளவு பரப்பை அடைத்து அலங்கரிக்க முடியும்?

தீர்வு:
மொத்தப் பரப்பு = 10² + 11² + ... + 24² = Σ₁²⁴ k² − Σ₁⁹ k².
= [(24 × 25 × 49) / 6] − [(9 × 10 × 19) / 6] = 4900 − 285 = 4615 செ.மீ².

35) பின்வருபவை முழுவர்க்கப் பல்லுறுப்புக் கோவைகள் எனில் m மற்றும் n-யின் மதிப்பு காண்க: 36x⁴ − 60x³ + 61x² − mx + n.

தீர்வு:
நீள்வகுத்தல் முறையில் வர்க்கமூலம் காண ஈவு 6x² − 5x + 3 கிடைக்கும்.
(6x² − 5x + 3)² = 36x⁴ − 60x³ + 61x² − 30x + 9.
ஒத்த உறுப்புகளை ஒப்பிட: m = 30, n = 9.

36) சென்னையிலிருந்து விருத்தாச்சலத்திற்கு 240 கி.மீ தூரத்தைக் கடக்க ஒரு பயணிகள் தொடர்வண்டிக்கு ஒரு விரைவு தொடர்வண்டியைவிட 1 மணிநேரம் கூடுதலாகத் தேவைப்படுகிறது. பயணிகள் தொடர்வண்டியின் வேகம், விரைவு தொடர்வண்டியின் வேகத்தைவிட 20 கி.மீ/மணி குறைவு எனில், இரு தொடர்வண்டிகளின் சராசரி வேகங்களைக் கணக்கிடுக.

தீர்வு:
பயணிகள் வண்டியின் வேகம் s கி.மீ/மணி என்க; விரைவு வண்டியின் வேகம் (s + 20) கி.மீ/மணி.
(240 / s) − [240 / (s + 20)] = 1 ⇒ 240(20) = s(s + 20) ⇒ s² + 20s − 4800 = 0.
(s + 80)(s − 60) = 0 ⇒ s = 60.
பயணிகள் தொடர்வண்டியின் வேகம் = 60 கி.மீ/மணி.
விரைவுத் தொடர்வண்டியின் வேகம் = 80 கி.மீ/மணி.

37) α, β என்பன 7x² + ax + 2 = 0-யின் மூலங்கள் மற்றும் β − α = −¹³/₇ எனில், a-யின் மதிப்புக் காண்க.

தீர்வு:
α + β = −a / 7, αβ = ²/₇.
(β − α)² = (α + β)² − 4αβ ⇒ (−¹³/₇)² = (−a / 7)² − 4(²/₇).
¹⁶⁹/₄₉ = (a² / 49) − ⁸/₇ = (a² − 56) / 49 ⇒ a² − 56 = 169 ⇒ a² = 225 ⇒ a = ±15.

38) அடிப்படை விகிதசம தேற்றத்தை எழுதி நிரூபிக்க.

தீர்வு:
கூற்று: ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்திற்கு இணையாகவும் மற்ற இரு பக்கங்களை வெட்டுமாறும் வரையப்படும் நேர்கோடு, அவ்விரு பக்கங்களையும் சம விகிதத்தில் பிரிக்கும்.
நிரூபணம்: ΔABC-ல் DE || BC என்க.
ΔADE மற்றும் ΔABC-ல் ∠ADE = ∠B (ஒத்த கோணங்கள்), ∠AED = ∠C (ஒத்த கோணங்கள்), மற்றும் ∠A பொதுக்கோணம் ஆகும்.
கோ.கோ.கோ வடிவொத்த விதியின்படி ΔADE ~ ΔABC.
எனவே AB / AD = AC / AE ⇒ (AD + DB) / AD = (AE + EC) / AE ⇒ 1 + (DB / AD) = 1 + (EC / AE) ⇒ AD / DB = AE / EC. தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டது.

39) (8, 6), (5, 11), (−5, 12) மற்றும் (−4, 3) ஆகிய புள்ளிகளை முனைகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பைக் காண்க.

தீர்வு:
கடிகார எதிர்திசையில் புள்ளிகள்: (8, 6), (5, 11), (−5, 12), (−4, 3).
பரப்பளவு = ¹/₂ | [(88 + 60 − 15 − 24) − (30 − 55 − 48 + 24)] |
= ¹/₂ | 109 − (−49) | = ¹/₂(158) = 79 ச. அலகுகள்.

40) 7x + 3y = 10, 5x − 4y = 1 ஆகிய நேர்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி வழியாகவும், 13x + 5y + 12 = 0 என்ற நேர்கோட்டிற்கு இணையாகவும் அமையும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

தீர்வு:
7x + 3y = 10 மற்றும் 5x − 4y = 1 ஆகியவற்றைத் தீர்க்க வெட்டுப்புள்ளி (1, 1) கிடைக்கும்.
13x + 5y + 12 = 0-க்கு இணையான கோட்டின் சமன்பாடு 13x + 5y + k = 0.
இது (1, 1) வழி செல்வதால்: 13(1) + 5(1) + k = 0 ⇒ k = −18.
தேவையான சமன்பாடு: 13x + 5y − 18 = 0.

41) [sin A / (1 + cos A)] + [sin A / (1 − cos A)] = 2 cosec A என்பதை நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு:
LHS = sin A [ (1 / (1 + cos A)) + (1 / (1 − cos A)) ]
= sin A [ (1 − cos A + 1 + cos A) / (1 − cos²A) ]
= sin A [ 2 / sin²A ] = 2 / sin A = 2 cosec A = RHS. நிரூபிக்கப்பட்டது.

42) [கட்டாய வினா] (−3, 8) என்ற புள்ளி வழிச்செல்வதும், ஆய அச்சுகளின் மிகை வெட்டுத்துண்டுகளின் கூடுதல் 7 உடையதுமான நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

தீர்வு:
வெட்டுத்துண்டுகள் a, b என்க. a + b = 7 ⇒ b = 7 − a.
சமன்பாடு: (x / a) + [y / (7 − a)] = 1.
(−3, 8) ஐப் பிரதியிட: (−3 / a) + [8 / (7 − a)] = 1 ⇒ −3(7 − a) + 8a = a(7 − a).
a² + 4a − 21 = 0 ⇒ (a + 7)(a − 3) = 0 ⇒ a = 3 (மிகை வெட்டுத்துண்டு என்பதால்).
b = 7 − 3 = 4.
சமன்பாடு: (x / 3) + (y / 4) = 1 ⇒ 4x + 3y − 12 = 0.

பகுதி - ஈ • IV. அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளி: 2 × 8 = 16

43) a) QR = 5 செ.மீ, ∠P = 30° மற்றும் P-யிலிருந்து QR-க்கு வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் நீளம் 4.2 செ.மீ கொண்ட ΔPQR வரைக.
(அல்லது) b) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் ABC-யின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் ⁶/₅ என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி ⁶/₅ > 1)

தீர்வுச் சுருக்கம்:
a) 1. அடிப்பக்கம் QR = 5 செ.மீ வரைக. 2. Q-வில் கீழே 30° கோணம் வரைந்து அதற்கு செங்குத்துக் கதிர் வரைக. 3. QR-ன் மையக்குத்துக் கோடு வரைந்து அது செங்குத்துக் கதிரை சந்திக்கும் புள்ளியை வட்ட மையமாகக் கொண்டு சுற்றுவட்டம் வரைக. 4. மையக்குத்துக் கோட்டின் மீது 4.2 செ.மீ குறிக்க. 5. அதனூடாக QR-க்கு இணையான கோடு வரைந்து வட்டத்தை சந்திக்கும் புள்ளியை P எனக் குறித்து ΔPQR ஐ நிறைவு செய்க.
b) 1. கொடுக்கப்பட்ட ΔABC வரைக. 2. BC-க்குக் கீழே குறுங்கோணக் கதிர் BX வரைக. 3. 6 சம அளவு கொண்ட வில்ல்களை வெட்டுக. 4. B₅-ஐ C உடன் இணைக்க. 5. B₆ வழியாக B₅C-க்கு இணையான கோடு வரைந்து நீட்டிய BC-ஐ C'-ல் சந்திக்கச் செய்க. 6. C' வழியாக CA-க்கு இணையாக கோடு வரைந்து ΔA'BC' என்ற பெரிய வடிவொத்த முக்கோணத்தை நிறைவு செய்க.

44) a) y = ¹/₂ x என்ற நேரிய சமன்பாட்டின் சார்பின் வரைபடம் வரைக. விகிதசம மாறிலியை அடையாளம் கண்டு, அதனை வரைபடத்துடன் சரிபார்க்க. மேலும் (i) x = 9 எனில் y காண்க. (ii) y = 7.5 எனில் x ஐக் காண்க.
(அல்லது) b) ஒரு பள்ளியானது குறிப்பிட்ட சில போட்டிகளுக்கு பரிசுத்தொகையினை பின்வருமாறு சமமாக பிரித்து வழங்குகிறது:

பங்கேற்பாளர்களின் எண்ணிக்கை (x)	2	4	6	8	10
தொகை ரூ. (y)	180	90	60	45	36

i) விகிதசம மாறிலியைக் காண்க.
ii) மேற்கண்ட தரவுகளுக்கு வரைபடம் வரைந்து 12 பங்கேற்பாளர்கள் பங்கெடுத்துக் கொண்டால் ஒவ்வொருவரும் பெறும் பரிசுத்தொகையைக் காண்க.

தீர்வு:
a) நேர்மாறுபாடு: y = kx. விகிதசம மாறிலி k = ¹/₂ = 0.5.
(i) x = 9 எனில்: y = ¹/₂(9) = 4.5.
(ii) y = 7.5 எனில்: x = 2(7.5) = 15.
b) x அதிகரிக்கும் போது y குறைகிறது ⇒ எதிர்மாறுபாடு: xy = k.
i) விகிதசம மாறிலி k = 2 × 180 = 360.
ii) 12 பங்கேற்பாளர்கள் (x = 12) எனில்: y = 360 / 12 = ரூ. 30.